Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：AD⊥CF；

(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

 

Answer 1

 (1)证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90o，∴∠CBA=∠CAB=45°．

又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°．

又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°，

∴∠BFD=45°=∠BDE，  ∴BF=DB．

又∵D为BC的中点，∴CD=DB，即BF=CD．

在Rt△CBF和Rt△ACD中，

∵ ∴Rt△CBF≌Rt△ACD，

∴∠BCF=∠CAD．      

又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD +∠GCA =90°，即AD⊥CF；

 (2) △ACF是等腰三角形．

理由：由(1)知： CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴BE垂直平分DF，∴AF=AD， 

∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．