Question

【题目】如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段所在直线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)

【解析】

（1）将A点代入抛物线的解析式即可求得答案；

（2）先求得点B、点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；

（3）设出P点坐标，然后表示出△ACP的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等建立方程，求解即可．

（1）将点代入中，

得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）当时，，

∴点C的坐标为(0，4) ，

当时，，

解得： ，

∴点B的坐标为(6，0) ，

设直线BC的解析式为，

将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：

，

∴，

∴直线BC的解析式为，

（3）抛物线的对称轴为，

假设存在点P，设，

则，

，

，

∵△ACP为等腰三角形，

①当时，，

解之得：，

∴点P的坐标为(2，2)或(2，-2)；

②当时，，

解之得：或(舍去)，

∴点P的坐标为(2，0)或(2，8)，

设直线AC的解析式为，

将点A(-2，0)、C (0，4)代入得，

解得：，

∴直线AC的解析式为，

当时，，

∴点(2，8)在直线AC上，

∴A、C、P在同一直线上，点(2，8)应舍去；

③当时，，

解之得：，

∴点P的坐标为(2，)；

综上，符合条件的点P存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)．