Question

【题目】已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．

（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．

①求证：BE=CF；

②求证：BE2=BCCE．

（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BCCE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） ．

【解析】【试题分析】

（1）①在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，

因为∠ABG＋∠CBF＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，根据同角的余角相等，得∠BAG＝∠CBF，利用ASA判定定理得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等得：BE＝CF.

②∠AGB＝90°，点M为AB的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，MG＝MA＝MB，根据等边对等角得∠GAM＝∠AGM.

因为∠CGE＝∠AGM，等量代换得∠GAM＝∠CGE.

由①可知∠GAM＝∠CBG，则∠CGE＝∠CBG.

又因为∠ECG＝∠GCB，根据两角对应相等，两三角形相似得：△CGE∽△CBG，根据相似三角形对应边成比例得： ，即CG2＝BC·CE.∵MG＝MB，∴∠MGB＝∠MBG.

在正方形ABCD中，因为AB∥CD，根据平行线的性质得∠MBG＝∠CFG.

又因为∠CGF＝∠MGB，等量代换得∠CFG＝∠CGF，根据等边对等角得CF＝CG.

由①可知BE＝CF，即BE＝CG，故BE2＝BC·CE.

（2）延长AE，DC交于点N.在正方形ABCD中， AB＝BC，AB∥CD，∴△CEN∽△BEA，根据相似三角形的对应边成比例得 ，即BE·CN＝AB·CE.因为AB＝BC，

则BE2＝BC·CE，得CN＝BE.由于AB∥DN，得△CGN∽△MGA，△CGF∽△MGB，

则 ， ，∴. 又因为点M为AB的中点，得MA＝MB，

则CN＝CF＝BE.

设正方形的边长为a，BE＝x，则CE＝BC－BE＝a－x.由BE2＝BC·CE列方程得：x2＝a·(a－x)，解得x1＝ a，x2＝a(舍去)， ＝，即tan∠CBF＝＝＝.

【试题解析】

(1)①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABG＋∠CBF＝90°.∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.

②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.

∵∠CGE＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CGE.

由①可知∠GAM＝∠CBG，∴∠CGE＝∠CBG.

又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG，∴ ，

即CG2＝BC·CE.∵MG＝MB，∴∠MGB＝∠MBG.

∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠MBG＝∠CFG.

又∵∠CGF＝∠MGB，∴∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG.

由①可知BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE.

(2)延长AE，DC交于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴△CEN∽△BEA，∴ ，即BE·CN＝AB·CE.∵AB＝BC，BE2＝BC·CE，∴CN＝BE.∵AB∥DN，∴△CGN∽△MGA，△CGF∽△MGB，∴ ， ，∴. ∵点M为AB的中点，∴MA＝MB，∴CN＝CF，∴CF＝BE.

设正方形的边长为a，BE＝x，则CE＝BC－BE＝a－x.由BE2＝BC·CE可得x2＝a·(a－x)，解得x1＝ a，x2＝a(舍去)，∴ ＝，∴tan∠CBF＝ ＝ ＝.