Question

已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．
求证：（1）

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1
（2）

AP

AD

，

BP

PE

，

CP

PF

三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．

Answer 1

分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．
（2）由（1）中得出

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1，则其中至少有一个不大于

1

3

，可设

PD

AD

≤

1

3

，即3AD≤PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．

解答：解：（1）由面积概念得：
S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC①
整理等式得：

S△PBC

S△ABC

+

S△PAC

S△ABC

+

S△PAB

S△ABC

=1，②
由面积概念得：

S△PDC

S△ADC

=

PD

AD

，

S△PDB

S△ADB

=

PD

AD

，
∴

S△PDC+S△PDB

S△ADC+S△ADB

=

PD

AD

，
即

S△PBC

S△ABC

=

PD

AD

③
同理得：

S△PAC

S△ABC

=

PE

BE

④

S△PAB

S△ABC

=

PF

CF

⑤
把式③、④、⑤、代入式②得：

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1；

（2）由

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1，知

PD

AD

，

PE

BE

，

PF

CF

中至少有一个不大于

1

3

，
不妨设

PD

AD

≤

1

3

即3PD≤AD．
而AD=AP+PD，
∴AP≥2PD，
∴

AP

PD

≥2，即

AP

PD

不小于2，
同理可证三式中至少有一个不大于2．

点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题．