Question

如图，直线y=kx+6与x轴分别交于E，F，点E坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）当点P在第二象限内运动过程中，试写出三角形OPA的面积s与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为

27

8

，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点E坐标（-8，0）代入直线y=kx+6就可以求出k值，从而求出直线的解析式；
（2）由点A的坐标为（-6，0）可以求出OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA．从而求出其关系式；根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围．
（3）根据△OPA的面积为

27

8

代入（2）的解析式求出x的值，再求出y的值就可以求出P点的位置．

解答：解：（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，
∴k=

3

4

；

（2）∵k=

3

4

，
∴直线的解析式为：y=

3

4

x+6，
∵P点在y=

3

4

x+6上，设P（x，

3

4

x+6），
∴△OPA以OA为底的边上的高是|

3

4

x+6|，
当点P在第二象限时，|

3

4

x+6|=

3

4

x+6，
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6．
∴S=

6( 3 4 x+6)

2

=

9

4

x+18．
∵P点在第二象限，
∴-8＜x＜0；

（3）设点P（m，n）时，其面积S=

27

8

，
则

6|n|

2

=

27

8

，
解得|n|=

9

8

，
则n=±

9

8

．
当n=

9

8

时，

9

8

=

3

4

m+6，
则m=-

13

2

，
故P(-

13

2

，

9

8

)；
当n=-

9

8

时，-

9

8

=

3

4

m+6，
则m=-

19

2

，
故P(-

19

2

，-

9

8

)
综上可知，当点P的坐标为(-

13

2

，

9

8

)或(-

19

2

，-

9

8

)时，三角形OPA的面积为

27

8

．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，三角形面积公式的运用以及点的坐标的求法，在解答中画出函数图象和求出函数的解析式是关键．