Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过A作AF∥BC交BE延长线于F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD面积相等的三角形（不包含△ACD）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）与△ACD面积相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB

【解析】

（1）首先由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；

（2）根据平行线之间的距离处处相等、等高模型和菱形的性质即可解决问题；

（1）证明：如图，∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝DC＝BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（2）∵BD=CD，而△ABD的边BD上的高即为△ACD的边CD上的高

∴S△ACD=S△ABD；

∵四边形ADCF是菱形

∴S△ACD=S△ACF；

∵AF∥CD

∴△ACD的边CD上的高等于△BAF的边AF上的高

∵AF=CD

∴S△ACD=S△AFB

综上：与△ACD面积相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB．