Question

【题目】如图，在四边形中，，以为直径的经过点，连接，交于点.

（1）证明：；

（2）若，证明：是的切线；

（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若的直径为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，又AD=CD知AE=CE；
（2）设BC=a、则AC=2a、AD=AB==a，证OE为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE==2a，再在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；
（3）先证△AFD∽△BAD得DFBD=AD2①，再证△AED∽△OAD得ODDE=AD2②，由①②得DFBD=ODDE，即，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．

（1）连接，

在和中，

，

∴，

∴

∴

（2）由（1）得，

∵，

∴，

∵为的直径，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴设、则，

∴，

∵，且，

∴，，

在中，，

在中，，

，

∴，

∴，

则与相切；

（3）连接，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，即①，

又∵，，

∴，

∴，即②，

由①②可得，即，

又∵，

∴，

∵，

∴，，，，，

∴，即，

解得：.