Question

如图，在△ABC中，ED是BC的垂直平分线．
（1）若AC=8，△ABE的周长是13，求AB的长；
（2）若∠A=72°，∠C=36°，试找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴EB+AE=EC+AE=AC=8，
∵△ABE的周长=AB+EB+AE=13，
∴AB=5．

（2）等腰三角形有：△ABC、△EBC、△ABE，理由如下：
∵∠A=72°，∠C=36°，
∴∠ABC=180°-（∠A+∠C）=180°-（72°+36°）=72°，
∴∠A=∠ABC，
∴AC=BC．即△ABC是等腰三角形，
∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，即△EBC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C=36°，
∴∠AEB=∠EBC+∠C=72°，
∴∠A=∠AEB=72°，
∴BA=BE．即△ABE是等腰三角形．
分析：（1）由垂直平分线知，BE=EC，即周长为AB+AC，即可求得AB的长．
（2）由（1）再根据等腰三角形性质即可求得所有等腰三角形．
点评：本题考查线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合，要熟练掌握．