Question

一次函数y=-2x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点，点C的坐标为（2，0）．M（0，m）在B点的下方，以M为圆心，以MC为半径画圆．
（1）求出A，B点的坐标；
（2）若圆M与直线AB相切，求m的值；
（3）设圆M与直线AB相切时的圆心分别为M₁、M₂，求证：M₁C与M₂圆相切．若圆M与直线AB相交，求m的取值范围．（不用写出理由，只要写出结论）

Answer 1

分析：（1）利用一次函数与y轴相交，即x=0时，y=6，与x轴相交，即当y=0时，x=3，即可得出答案；
（2）利用过M作ME⊥AB，那么，△BME∽△BAO，即得出比例式，再利用勾股定理可求出m的值；
（3）利用M₁O•M₂O=OC²，以及∠M₁OC=∠COM₂，得出△COM₁∽△M₂CO，即可得出M₁C与M₂圆相切进而求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵一次函数y=-2x+6，x=0时，y=6，当y=0时，x=3，
  所以一次函数y=-2x+6的图象与x轴的交点A（3，0），与y轴交点B（0，6）
∴A，B点的坐标为：A（3，0），B（0，6）；

（2）根据圆心到直线的距离等于圆的半径这个切线的定义列方程．
过M作ME⊥AB，那么，
△BME∽△BAO，
∴

ME

BM

=

AO

AB

，

ME

6-m

=

3

3 5

，
∴ME=

6-m

5

在Rt△MOC中，由勾股定理得：
MC=

m2+4

，
∴

6-m

5

=

m2+4

解得m=1或m=-4．
∴m的值为：1或-4；

（3）∵M₁O•M₂O=OC²，
∠M₁OC=∠COM₂，
∴△COM₁∽△M₂CO，
即：∠M₁CO=∠CM₂O，
∴∠M₁CO+∠OCM₂=90°，
∴M₁ C⊥M₂C．
∴M₁C与圆M₂相切．
若圆M与直线AB相交：1＜m＜6或m＜-4．

点评：此题主要考查了一次函数综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识，相似三角形的判定与性质经常与一次函数综合应用，同学们应借助数形结合，得出三角形相似是解决问题的关键．