Question

【题目】如图，为的直径，为的切线，为弦，连接，，交于点，交于点，连接，，且．

（1）求证：为的切线；

（2）若，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接，，已知是的切线，可得，又因为，，可证得，得，证得为的切线．

（2）由（1）知，可得垂直平分线段，所以，得，已知，，可得，

延长到点．由（1）知为的切线，证明，，可得，，即．

（3）设与交于点，，，，可证得，，设，则，解得x

由，得，可求得．

（1）如图，连接，．

∵是的切线，

∴．∴．

∵，，

∴．

∴．

∴为的切线．

（2）∵是直径，

∴．

∴，由（1）知，．

∴垂直平分线段．

∴，．

∵，

∴．

∴．

如图，延长到点．由（1）知为的切线，

∴．又，

∴．又，．

∴，即．

∴．

∴，．

∴．

∴．

∴．

（3）如图，设与交于点，，则，．

∵，，

∴．

∴．

设，则．

解得，（舍），即．

∵，

∴．

∵，

∴．

故答案为：