【题目】如图，已知直线
分别交
轴、
轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC
轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为
，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与
AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①
②答案见解析 （2）存在，
或
【解析】
（1）①如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为
的坐标为
，
，然后计算自变量为
对应的一次函数值可得到
点坐标；
②易得
，设
点坐标为
，则
，则
，由于
，根据平行四边形的判定方法，当
时，四边形
为平行四边形，即
，求出
得到此时点坐标为
，
，接着计算出
，然后比较与
的大小关系可判断平行四边形是否为菱形；
（2）如图2，利用勾股定理计算出
，再表示出
，则可计算出
，接着表示出抛物线解析式为
，则可用
表示出点
坐标为
，所以
，由于
，根据相似三角形的判定方法，当
时，
，即
；当
时，
，即
，然后利用比例性质分别求出的值，从而得到对应的抛物线的解析式．
（1）①如图1，
，
顶点为
的坐标为，，
当
时，
，则点
坐标为，
；
②不存在．
理由如下：
，
设
点坐标为
，则
，
，
，
当
时，四边形
为平行四边形，即
，解得
（舍去），
，此时点坐标为，，
，
，
平行四边形不为菱形，
不存在点，使四边形为菱形；
（2）存在．
如图2，
，
，则
，
当
时，
，则
，
，
设抛物线的解析式为
，
把
代入得
，解得
，
抛物线的解析式为
，
当时，
，则
，
，
，
，
当
时，
，即
，解得
，此时抛物线解析式为
；
当
时，
，即
，解得
，此时抛物线解析式为
；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则y的最大值是__________．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，设销售单价为x(120＞x≥60)元，销售量为y套．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，月销售额为14000元，此月共盈利多少元．
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【题目】如图， 抛物线
与
轴交于点A（-1,0），顶点坐标（1，n）与
轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包 含端点），则下列结论：①
；②
；③对于任意实数m，
总成立；④关于的方程
有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【题目】如图，已知网格上最小的正方形的边长为1.
(1)分别写出A，B，C三点的坐标；
A_____________；B_____________；C _____________.
(2)作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
(3)求△ABC的面积．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲16分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】为预防疾病，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量
（mg）与燃烧时间
（分钟）成正比例；燃烧后， 
与
成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时
与
的函数关系式．（2）求药物燃烧后
与
的函数关系式．
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．
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