Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．
（1）求△ADE周长；
（2）△ADE是什么三角形？为什么？
（3）试判断AC与DE的关系，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据BD⊥CD，BC边的中点为E可知，DE为Rt△BCD斜边上的中线，则DE=

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BC=2cm，同理可证AE=

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BC=2cm，可求周长；
（2）由（1）可知，DE=2cm，AE=2cm，已知AD=2cm，可证△ADE为等边三角形；
（3）可证四边形ADCE为菱形，AC与DE是菱形的对角线，根据菱形的性质可知，AC与DE互相垂直平分．

解答：解：（1）∵BD⊥CD，BC边的中点为E，
∴DE为Rt△BCD斜边上的中线，
∴DE=

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BC=2cm，
同理可得AE=

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BC=2cm，
由已知得AD=2cm，
∴AD+AE+DE=6cm；

（2）等边三角形．
理由：由（1）可知AD=AE=DE=2cm，
∴△ADE是等边三角形；

（3）∵AD=CE=2cm，AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形，又AE=AD=2cm，
∴?ADCE为菱形，
∴AC与DE互相垂直平分．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，等边三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质．关键是根据题意得出图形中的相等线段及特殊图形．