Question

如图，抛物线y=

1

4

x²+bx+c顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0）和B．将抛物线y=

1

4

x²+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M₁，A₁为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
（1）写出点B的坐标及求抛物线y=

1

4

x²+bx+c的解析式；
（2）求证：A，M，A₁三点在同一直线上；
（3）设点P是旋转后抛物线上DM₁之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM₁MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM₁MD的面积；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称性即可写出B的坐标，根据对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0）代入即可得到方程-

b

2× 1 4

=10=

(-3)2

4

-3b+c，解由这两个组成的方程组即可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标，根据旋转和图象即可求出M₁、A₁的坐标，设直线AM的表达式为y=kx+m，把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式，把A₁的坐标代入即可得到答案；
（3）存在点P使四边形PM₁MD的面积最大．连接M₁D，只要S_△M1PD最大，先代入抛物线的解析式求出F的坐标，设点Q的坐标为（n，

1

4

n²-

1

2

n-

15

4

），设直线MF的表达式为y=px+q，把M、F的坐标代入即可求出直线MF的解析式，设直线MF上有一点R（m，-

3

2

m-

5

2

），求出S_△M1PD=-

3

4

（m+2）²+

27

4

的最大值，求出m的值，进一步求出Q、P的坐标，再求出四边形PM₁MD的面积即可．

解答：（1）解：点B的坐标为（5，0），

- b 2× 1 4 =1 0= (-3)2 4 -3b+c.

解得b=-

1

2

，c=-

15

4

．
∴抛物线解析式为y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

，
答：点B的坐标是：（5，0），抛物线y=

1

4

x²+bx+c的解析式是y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

．

（2）证明：由题意可得：把x=1代入抛物线解析式y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

，得：y=-4
点M的坐标为（1，-4），
根据旋转和图象可得：点M₁的坐标为（9，-4），
点A₁的坐标为（5，-8），
设直线AM的表达式为y=kx+m．
则有

0=-3k+m -4=k+m.

，
解得

k=-1 m=-3.

，
则直线AM的表达式为y=-x-3．
把x=5代入y=-x-3，得y=-8．
即直线AM经过点A₁．
故A，M，A₁三点在同一直线上．

（3）解：存在点P使四边形PM₁MD的面积最大．连接M₁D，
∵S_△M1MD是定值，
∴要使四边形PM₁MD的面积最大，只要S_△M1PD最大，
将△M₁PD绕点B顺时针旋转90°，则点M₁与点M重合，
点P与点Q重合，点D与点F重合．点Q，F都在抛物线y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

上，
∴点F的坐标为（-5，5），
设点Q的坐标为（n，

1

4

n²-

1

2

n-

15

4

），
设直线MF的表达式为y=px+q，
则有

p+q=-4 -5p+q=5.

，
解得

p=- 3 2 q=- 5 2 .

，
则直线MF的表达式为y=-

3

2

x-

5

2

，
设直线MF上有一点R（m，-

3

2

m-

5

2

），则
S_△M1PD=

1

2

×6×（-

3

2

m-

5

2

-

1

4

m²+

1

2

m+

15

4

），
=-

3

4

m²-3m+

15

4

，
=-

3

4

（m+2）²+

27

4

，
∴当m=-2时，S_△M1PD最大=

27

4

，
若m=-2时，

1

4

m²-

1

2

m-

15

4

=-

7

4

，
所以，点Q（-2，-

7

4

），
故点P的坐标为（

27

4

，-7），
∵点M的坐标为（1，-4），点M₁的坐标为（9，-4），
∴S_△DM1M的面积为

1

2

×6×8=24，四边形PM₁MD的面积为24+

27

4

=

123

4

，
∴存在点P（

27

4

，-7）使四边形PM₁MD的面积最大，面积最大值为

123

4

，
答：存在，点P的坐标是（

27

4

，-7），四边形PM₁MD的面积最大是

123

4

．

点评：本题主要考查对一次函数的图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，解一元一次方程，旋转，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性较强的题目，有一定的难度．