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    如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为-1，直线l：y=-x-与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
    （1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
    （2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：

    （3）如图2，过A、O、C三点作⊙O1，点E是⊙O1上任意一点，连接EC、EA、EO．
    ①若点E在劣弧OC上，试说明：EA-EC=EO；
    ②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．

    【答案】分析：（1）根据直线l：y=-x-与坐标轴分别交于A、C两点，A的纵坐标等于0，C点的横坐标等于0．代入解析式求解即可．
    （2）首先根据题意添加辅助线，画出⊙B第一次与⊙O相切的位置图，根据两圆相切的位置关系，求出t，根据时间t求出直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转的角度．根据旋转后的位置，根据直线与圆的位置关系，判定判断直线l与⊙B的位置关系．
    （3）①由（1）知AC是直径，先确定三角形OAC为圆内接等腰直角三角形； 在AE上截取AM=CE，连接OM；通过边角边定理证明△OAM≌△OCE；进而可知△OME为等腰直角三角形，最后证明AE-EC=EO
    ②由（1）知AC是直径，先确定三角形OAC为圆内接等腰直角三角形，在EA的延长线上截取AM=CE，连接OM； 通过边角边定理证明△OAM≌△OCE；进而可知△OME为等腰直角三角形，最后证明AE+EC=EO
    解答：解：（1）∵点A是直线l：y=-x-与坐标轴x轴的交点
    ∴y=0，即0=-x-，解得x=
    所以点A（，0），同理点C（0，）
    ∴OA=OC
    ∵OA⊥OC，∴∠CAO=45°

    （2）

    过B1做B1P垂直于l′角l′于点P，连接B1A，B1O，B1N
    如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，⊙B1与x轴相切于点N，连接B1O，B1N
    则MN=t，OB1=OK+KB1=，B1N=1，B1N⊥AN
    ∴ON=1，MN=3，即t=3
    l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转了90°，即l与l′相互垂直．
    则B1P⊥AP，∴∠PAB1=∠NAB1
    由（1）知AO=，∴AO=OB1
    ∴∠OAB1=∠OB1A
    又∵∠B1ON=45°
    ∴∠B1AO=22.5°
    ∴∠PAB1=90°-45°-22.5°=22.5°
    在Rt△PAB1与Rt△NAB1中，∠PAB1=∠B1AN，AB1为公共边，
    所以Rt△PAB1≌Rt△NAB1
    PB1=NB1=1
    故直当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l与⊙B相切

    （3）

    ①由（1）知△OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
    在AE上截取AM=CE，连接OM；
    ∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（圆周角）
    ∴△OAM≌△OCE；
    ∴∠AOM=∠COE，OM=OE
    ∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
    ∴∠MOE=90°
    ∴△OME为等腰直角三角形
    ∴ME=EO
    又∵ME=AE-AM=AE-EC
    ∴AE-EC=EO
    ②

    由（1）知三角形OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
    在EA的延长线上截取AM=CE，连接OM；
    ∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（外角等于所对的圆周角）
    ∴△OAM≌△OCE；
    ∴∠AOM=∠COE，OM=OE
    ∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
    ∴∠MOE=90°
    ∴△OME为等腰直角三角形
    ∴ME=EO
    又∵ME=AE+AM=AE+EC
    ∴AE+EC=EO
    所以①不成立，正确的结论是AE+EC=EO
    点评：本题考查直线与圆的位置关系，坐标系，圆心角、弧度、弦的关系，三角形等．解决本题的关键首先要根据题意涉及号图形，添加好辅助线；同学们解决本题需要对圆、全等三角形等几何核心知识有深刻的了解．
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    23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作
    （2，2）
    ．

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    在平面直角坐标系中，将一块腰长为2
    		2
    cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
    （1）点A的坐标为
    （-3，2
    		2
    ）
    （-3，2
    		2
    ）
    ，点B的坐为
    (-3-2
    		2
    ，0)
    (-3-2
    		2
    ，0)
    ；
    （2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
    （3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

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    科目：初中数学 来源：同步轻松练习　八年级　数学　上 题型：059

    学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

    (1)按照这种规定填写下表：

    (2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

    (3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

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    科目：初中数学 来源：2013-2014学年北京海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（解析版） 题型：解答题

    阅读下面的材料：

    小明在研究中心对称问题时发现：

    如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

    如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

    （1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

    （2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

     

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    （1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

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