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    已知抛物线y＝a(x－m)2＋n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．

    (1)如图，求抛物线y＝(x－2)2＋1的伴随直线的解析式．

    (2)如图，若抛物线y＝a(x－m)2＋n(m＞0)的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．

    (3)如图，若抛物线y＝a(x－m)2＋n的伴随直线是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴随四边形ABCD是矩形．

    ①用含b的代数式表示m、n的值；

    ②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　(1)由已知得B(2，1)，A(0，5)　　1分

    　　设所求直线的解析式为y＝kx＋b，则　　1分

    　　解得，∴所求直线的解析式为y＝－2x＋5　　1分

    　　(2)如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为(0，－3)，点C的坐标为(0，3)　　1分

    　　可得AC＝6　　1分

    　　∵□ABCD的面积为12，

    　　∴S△ABC＝6即S△ABC＝AC·BE＝6　∴BE＝2

    　　∵m＞0，即顶点B有y轴的右侧，且在直线y＝x－3上，

    　　∴顶点B的坐标为B(2，－1)　　1分

    　　又抛物线经过点A(0，－3)

    　　∴a＝－

    　　∴y＝－(x－2)2－1　　1分

    　　(写成y＝－x2＋2x－3也可)

    　　(3)①方法一：如图，作BE⊥x轴于点E

    　　由已知得：A的坐标为(0，b)，C的坐标为(0，－b)．

    　　∵顶点B(m，n)在直线y＝－2x＋b上，

    　　∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b)　　1分

    　　在矩形ABCD中，OC＝OB，

    　　OC2＝OB2

    　　即b2＝m2＋(－2m＋b)2

    　　∴5m2－4mb＝0

    　　∴m(5m－4b)＝0

    　　∴m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝b　　1分

    　　∴n＝－2m＋b＝－2×b＋b＝－b　　1分

    　　方法二：如图，作BE⊥x轴于点E

    　　类似方法一可得：A的坐标为(0，b)，C的坐标为(0，－b)．

    　　∵顶点B(m，n)在直线y＝－2x＋b上，

    　　∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b)　　1分

    　　∴AE＝b－(－2m＋b)＝2m

    　　CE＝－2m＋b－(－b)＝2b－2m，BE＝m，

    　　∵AB⊥BC于点B，

    　　∴△ABC∽△AEB，

    　　BE2＝AE·CE，即m2＝2m(2b－2m)，

    　　∴m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝b　　1分

    　　∴n＝－2m＋b＝－2×b＋b＝－b　　1分

    　　②存在，共四个点如下：

    　　P1(b，b)，P2(b，b)，P3(b，b)，P4(b，－b)　　4分

    　　(只写“存在”的给1分)


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y＝－x2＋2mxm2m＋2．

    　　（1）判断抛物线的顶点与直线L：y＝-x＋2的位置关系；

    　　（2）设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM?ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；

    （3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C.

    1.求抛物线的解析式；

    2.设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

    3.如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时的点E的坐标.

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C．
    （1）求∠ACB的度数；
    （2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
    （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年江苏省常州小河中学初三上学期期末考试数学试卷（带解析） 题型：解答题

    如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C.

    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
    （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时的点E的坐标.

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年内蒙古九年级上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，1)、B（3，）两点，BC⊥x轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

    (1)求此抛物线的函数表达式；

    (2)连结AM、BM，设△AMB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；

    (3)连结PC，当t为何值时，四边形PMBC是菱形．（10分）

     

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