Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点（其中O 是原点），OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在第一象限的抛物线上，
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若CD=3BM，求矩形ABCD的面积；
（3）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知OM的长，可知点M的坐标；再由抛物线的对称性可得到点P的坐标，利用待定系数法即可确定该抛物线的解析式．
（2）由抛物线的对称性不难看出：OC=BM，即CD=3OC，首先根据这个关系设出点D的坐标，再由点D在抛物线的函数图象上确定点D的坐标；进一步可得到CD、OC、BC的长，则矩形面积可求．
（3）首先设出点C、D的坐标，进一步能得到CD、BC的长，而l=2（CD+BC），在得到关于l、C点横坐标的函数关系式后，由函数的性质求出l的最大值．

解答：解：（1）∵OM=4，∴M（4，0）；
∵点P在抛物线的对称轴上，且P到x轴的距离为4，
∴点P（2，4）．
设抛物线的解析式：y=ax（x-4），代入P（2，4），得：
2a（2-4）=4，a=-1
∴抛物线的解析式：y=-x（x-4）=-x²+4x．

（2）由抛物线的对称性知：OC=BM，则 CD=3OC；
设C（x，0），则D（x，3x），由于点D在抛物线的函数图象上，得：
-x²+4x=3x，解得：x₁=0（舍）、x₂=1
∴OC=1，CD=3，BC=OM-2OC=2
∴S_矩形ABCD=BC•CD=2•3=6．

（3）设点C（x，0），则点D（x，-x²+4x），
∴OC=x，CD=-x²+4x，BC=OM-2OC=4-2x；
∴矩形ABCD的周长：l=2（BC+CD）=2（4-2x-x²+4x）=-2（x-1）²+10，
∴l的最大值为10．

点评：该题的难度不大，主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、抛物线的对称性以及矩形的面积、周长的解法；熟练应用抛物线的对称性是解答此题的关键．