Question

【题目】如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBF．

（1）试判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．

Answer 1

【答案】（1）BF为⊙O的切线；理由详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接AE．通过AB⊥BF，点B在⊙O上可以推知BF为⊙O的切线；

（2）作辅助线CG（过点C作CG⊥BF于点G）构建平行线AB∥CG．由“平行线截线段成比例”知==，从而求得FG的值；然后根据图形中相关线段间的和差关系求得直角三角形CBG的两直角边BG、CG的长度；最后由锐角三角函数的定义来求tan∠CBF的值．

试题解析：（1）BF为⊙O的切线．理由如下：

连接AE．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互余）；

又∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；

∵∠CAB=2∠CBF，

∴∠BAE=∠CBF，

∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，

∵OB是半径，

∴BF为⊙O的切线；

（2）过点C作CG⊥BF于点G．

在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，

∴AF=10（勾股定理）；

又∵AC=AB=6

∴CF=4；

∵CG⊥BF，AB⊥BF，

∴CG∥AB，

∴==，（平行线截线段成比例），

∴FG=，

由勾股定理得：CG==，

∴BG=BF﹣FG=8﹣=，

在Rt△BCG中，tan∠CBF==．