Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y= x+1与抛物线y= x2+bx+c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线y= x2+bx+c 交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作AB的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设CE的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接DQ．当∠AQD=3∠PQD时，求点P坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： x+1=0，解得：x=﹣2，

∴点A（﹣2，0）．

将x=4代入得：y= ×4+1=3，

∴B（4，3）．

将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得： ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ ﹣3．

（2）

解：如图1所示：

令y=0得：0= x2﹣ ﹣3，解得：x1=﹣2，x2=3，

∴点C的坐标为（3，0）．

设点P的坐标为（t， t2﹣ t﹣3）．

∵EC⊥AB，

∴设EC的解析式为y=﹣2x+b．

将点P的坐标代入得：﹣2t+b= t2﹣ t﹣3，解得b= t2+ t﹣3．

设直线EC的解析式为y=﹣2x+ t2+ t﹣3．

令y=0，得：2x+ t2+ t﹣3=0，解得：x= t2+ t﹣ ．

∴点E（ t2+ t﹣ ，0）．

∴EC=3﹣（ t2+ t﹣ ）=﹣ t2﹣ t+ ．

∴d=﹣ t2﹣ t+ ．

∵点P在第四象限，

∴0＜t＜3．

（3）

解：如图2所示：过点d作CF⊥AB，垂足为F．

∵∠AQD=3∠PQD，∠AQP=90°，

∴∠PQD=45°．

∴∠DQF=45°．

∴QF=DF．

∵AB的解析式为y= x+1，

∴tan∠FAD= ，即DF= AF．

∴Q为AF的中点．

∵QP∥DF，

∴E为AD的中点．

∴E（1，0）．

∴EC=2，即2=﹣ t2﹣ t+ ，解得x=2或x=﹣5．

∵点P在第四象限，

∴x=2，

当x=2时，y=﹣2．

∴点P的坐标为（2，﹣2）．

【解析】（1）先求得点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值可得到抛物线的解析式；（2）先求得点C的坐标，设点P的坐标为（t， t2﹣ t﹣3），EC的解析式为y=﹣2x+b，将点P的坐标代入可求得b的值，得到直线EC的解析式为y=﹣2x+ t2+ t﹣3，接下来，求得点E的坐标，依据d=EC可得到d与t的函数关系是；（3）过点D作CF⊥AB，垂足为F．先证明△QFD为等腰直角三角形，可得到QF=DF，由AB的解析式可知tan∠FAD= ，z则Q为AF的中点，故此E为AD的中点，则可得到EC的长，由d和t的函数关系是可得到t的值．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和函数关系式是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．