Question

已知：正方形ABCD，以AD为边作等边三角形ADE，求∠BEC的度数．

Answer 1

解：如图（1）中，当点E在正方形ABCD外时，
在正方形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB∥CD，
在等边△ADE中，AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴AB=AE=CD=DE；
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）=（180°-90°-60°）=15°；
同理可证∠DCE=∠DEC=15°，
∴在△AED中，
∠BEC=60°-（∠AEB+∠DEC）=60°-30°=30°．
∴∠BEC的度数是30°．

如图（2），当点E在正方形ABCD内时，
同理，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=30°；
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-30°）=75°；
同理∠DCE=∠DEC=（180°-30°）=75°；
根据周角的定义，∠BEC=360°-∠BEA-∠AED-∠DEC=360°-75°-60°-75°=150°．
分析：要求∠BEC的度数，则要分情况讨论，点E可以在正方形ABCD内，也可以在正方形ABCD外，作图如下，利用正方形和等边三角形的性质及三角形内角和即可求解．
点评：本题考查了学生分析问题的能力，很显然，要求的角的度数是看三角形的另一点所在的位置而定，主要利用了正方形和等边三角形的性质及三角形内角和定理．