Question

25、如图，等腰直角△ACB，∠ACB=90°，CA=CB．
操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BF⊥AD交AD于点F，交AC所在直线于点E，连接DE．

（1）猜想△CDE的形状；
（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作．画出相应的图形；
（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由．

Answer 1

分析：（1）猜想△CDE是等腰直角三角形；
（2）据要求画出图形；
（3）只要证得△ACD≌△BEC，可得到CD=CE，即可得到结论；

解答：解：（1）由AC=BC，∠ACD=∠BCE，容易猜想到△ACD≌△BEC，那么CD=CE，则△CDE是等腰直角三角形；

（2）据要求画出图形如下：
图2图3

（3）结论成立；
证明：∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠FDB+∠B=90°∠B+∠CEB=90°，
∴∠FDB=∠CEB；
又∵∠FDB=∠ADC（对顶点角相等），
∴∠ADC=∠CEB；
∵在直角三角形ACD和BCE中，CA=CB，∠ADC=∠CEB，∠ACB=∠BCE=90°，
∴△ACD≌△BEC；
∴CD=CE，
∴△CDE是等腰直角三角形．即猜想△CDE是等腰直角三角形结论成立．

点评：此题主要考查直角三角形全等的判定，要利用已知条件寻找缺少的条件判定三角形全等，解题关键在于证明两腰相等．