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    如图1，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设∠AOB=°，∠BOC=°

    （1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD,如图2所示. 求证：OD=OC。

    （2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示. 求证：OA=DE

    （3）在（2）的基础上， 当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上。并直接写出AO+BO+CO的最小值。

     

    【答案】

    （1）根据旋转的性质可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等边三角形，问题得证；（2）根据旋转的性质可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，则可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可证得△EAD≌△ABO，问题得证；（3）

    【解析】

    试题分析：（1）根据旋转的性质可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等边三角形，问题得证；

    （2）根据旋转的性质可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，则可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可证得△EAD≌△ABO，问题得证；

    （3）根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=，即得∠CDE=，由△COD是等边三角形可得∠COD=∠CDO=60°，若点B、O、D、E在同一直线上，则∠BOC=∠CDE=120°，即，得 ，从而可以求得结果．

    （1）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC

    ∴CO=CD，∠DOC=60°

    ∴△COD是等边三角形 

    ∴OD=OC；

    （2）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC

    △ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC

    ∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC

    ∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC

    ∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC即∠DAE=∠OBA

    ∴△EAD≌△ABO  

    ∴OA=DE；

    （3）∵△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO 

    ∴∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=

    ∴∠CDE=  

    ∵△COD是等边三角形 

    ∴∠COD=∠CDO=60°

    若点B、O、D、E在同一直线上，则∠BOC=∠CDE=120°

    即，得 

    AO+BO+CO的最小值为．

    考点：旋转问题的综合题

    点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.

     

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    （3）在（2）的基础上，当α、β满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上．并直接写出AO+BO+CO的最小值．

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