Question

已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点E，F．

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC=α，∠ACB=β?，用α，β的代数式表示∠BOC的度数．
（3）在第（2）问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用α，β的代数式表示∠BOC的度数．

Answer 1

分析：（1）先根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可；
（2）先用α、β表示出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可；
（3）根据题意画出图形，再根据三角平分线的定义求出∠CBO+∠ACO的度数，进而可得出结论．

解答：解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（50°+60°）=55°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°；

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠ABC=α，∠ACB=β，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（α+β），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（α+β）；

（3）如图所示：
∵∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，
∴∠CBO+∠BCO=

180°-α

2

+

180°-β

2

=180°-

α+β

2

，
∴∠BOC=180°-（180°-

α+β

2

）=

1

2

α+

1

2

β．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．