Question

如图，在⊙O中，弦AB与半径相等，连接OB并延长，使BC=OB．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）请你在⊙O上找到一个点D，使AD=AC（完成作图，证明你的结论），并求∠ABD的度数．

Answer 1

（1）解：AC与⊙O相切．（1分）
证明：如图，∵AB与半径相等，即AB=OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°．
∵BC=OB=AB，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴∠OAC=90°，（2分）
∴AC与⊙O相切．

（2）延长BO交⊙O于D，连接AD，则必有AD=AC．（3分）
证明：∵∠BOA=60°，OA=OD，
∴∠D=30°．
又∵∠C=30°，
∴∠C=∠D，
∴AD=AC．（4分）
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABD=60°．（5分）
或作AD₁⊥OC交⊙O于D₁，交OC于E，连接BD₁，则必有AD₁=AC．（3分）
证明：∵∠C=30°，AD₁⊥OC，
∴AE=AC．
又∵AE=AD₁，
∴AC=AD₁．（4分）
由OE⊥AD1，得到=，
∴∠BAD₁=∠BD₁A=∠AOB=30°，
∴∠ABD₁=120°．（5分）
分析：（1）由线段AB与两半径的相等得出三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的性质可知∠OAB和∠OBA都为60度，根据等边对等角及外角的性质可得出∠BAC=30°，进而得到∠OAC=90°，由OA是圆的半径，即可得到AC是圆的切线；
（2）分两种情况考虑：延长BO交⊙O于D，连接AD，则必有AD=AC，原因为：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠D=30°，进而得到∠D与∠C相等，根据等角对等边得到AD=AC，求出此时∠ABD的度数；作AD₁⊥OC交⊙O于D₁，交OC于E，连接BD₁，则必有AD₁=AC．原因为：在直角三角形ACE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AE等于AC的一半，再根据垂径定理得到AE等于AD₁的一半，故AC与AD₁相等，求出此时∠ABD的度数．
点评：本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用，考查了分类讨论的数学思想．学生在作第二问时应注意审清题意，画出图形，然后分类作答．