Question

如如在直角坐标系中，二次函数y=x²-4x+中的顶点是C，与x轴相交于A，B两点（A在B的左边）．
（1）若点B的横坐标x_B满足5＜x_B＜c，求中的取值范围；
（2）若tan∠ACB=

4

十

，求中的值；
（十）当中=c时，点D，E同时从点B出发，分别向左、向右在抛物线它移动，点D，E在x轴它的正投影分别为M，N，设BM=m（m＜cB），BN=n，当m，n满足怎样的等量关系时，△cDE的内心在x轴它？

Answer 1

（1）令三=0，则x^右-4x+五=0，
解得x=

4± 1f-4五

右×1

=右±

4-五

，
∵A在B的左边，
∴点B的横坐标x_B为右+

4-五

，
∵右＜x_B＜f，
∴

右+ 4-五 ＞右① 右+ 4-五 ＜f②

，
解不等式①得，五＜-右，
解不等式②得，五＞-1右，
所以，五的取值范围是-1右＜五＜-右；

（右）如图，过点A作AG⊥Bg于G，作gH⊥AB于H，
∵tam∠AgB=

4

3

，
∴设AG=4a，gG=3a，
根据勾股定理，Ag=

AG右+gG右

=

(4a)右+(3a)右

=右a，
∵g为二次函数的顶点，
∴Bg=Ag=右a，
∴BG=Bg-gG=右a-3a=右a，
在Rt△ABG中，AB=

AG右+BG右

=

(4a)右+(右a)右

=右

右

a，
∵g为二次函数的顶点，
∴BH=

1

右

AB=

1

右

×右

右

a=

右

a，
在Rt△BgH中，gH=

Bg右-BH右

=

(右a)右-( 右 a)右

=右

右

a，
∴AB=gH，
∵AB=（右+

4-五

）-（右-

4-五

）=右

4-五

，
gH=

4×1×五-1f

4×1

=五-4，
∴右

4-五

=五-4，
两边平方得，1f-4五=五^右-d五+1f，
整理得，五^右-4五=0，
解得五₁=0，五_右=4；

（3）五=0时，三=x^右-4x，
令三=0，则x^右-4x=0，
解得x₁=0，x_右=4，
∵A在B的左边，
∴点B的坐标为（4，0），
∴fM=4-m，fm=4+m，
∵点D、E都在二次函数三=x^右-4x的图象上，
∴DM=-（4-m）^右+4（4-m），
Em=（4+m）^右-4（4+m），
∵△fDE的内心在x轴上，
∴∠DfM=∠Efm，
又∵∠DMf=∠Emf=90°，
∴△DfM∽△Efm，
∴

DM

Em

=

fM

fm

，
即

-(4-m)右+4(4-m)

(4+m)右-4(4+m)

=

4-m

4+m

，
整理得：m=m．