Question

【题目】已知y关于x的二次函数y=x-bx+b+b-5的图象与x轴有两个公共点．

（1）求b的取值范围；

（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值；

（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）利用即可求解；

（2）根据（1）中的结论确定b的值，进而确定二次函数的表达式，然后根据与对称轴的位置关系，判断出函数的单调性，然后代入到二次函数解析式中即可求出m,n的值；

（3）根据与对称轴的位置关系，分三种情况：①当，②当，取值范围在对称轴左侧，③当，即时，取值范围在对称轴右侧，数形结合进行讨论即可．

解：（1）由题意知，

即 ，

∴

解得： ；

（2）由题意，b=4，代入得：，

∴对称轴为直线．

又∵a=1>0，函数图象开口向上，

∴当时，y随x的增大而减小，

∴当x=时，，

当x=m时，y=，

解得：（不合题意，舍去）；

∴．

（3） ，函数大致图象如图所示．

①当，即时，

函数y在顶点处取得最小值，有b-5=，

∴b=（不合题意，舍去）

②当，即时，

取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，

∴当x=b+3时，y最小值=，代入得

，

即，

解得：（不合题意，舍去），

∴此时二次函数的解析式为：

③当，即时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，

∴当x=b时，y最小值=，代入得

，

即，

解得：，

∴此时二次函数的解析式为：．

综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或