Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于F，连接OC交⊙O于D，连接BD并延长交AC于E，BC=

2

AB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求

AE

CD

的值．

Answer 1

分析：（1）连接AF，由圆周角定理知：AF⊥BC，而△ABC是等腰三角形，且BC是底边，根据等腰三角形三线合一的性质知：F是BC的中点，进而可在Rt△ACF中，根据FC、AC的比例关系求得∠FCA的度数，从而判断出△ABC是等腰直角三角形，由此可证得所求的结论．
（2）此题需要通过两步相似来解答；由弦切角定理知：∠DAE=∠ABE=∠ODB=∠EDC，由此可证得△CDE∽△CAD，得：CD：AC=DE：AD，连接AD，则△ADE∽△BAE，得：DE：AD=AE：AB，联立上述两式即可得到AE、CD的比例关系．

解答：（1）证明：连接AF，则AF⊥BC；
∵AB=AC，且AF⊥BC，
∴F是BC的中点，即CF=

1

2

BC=

2

2

AC；
在Rt△ACF中，AC=

2

FC，则∠FCA=45°；
即△ABC是等腰直角三角形，故AB⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，则AD⊥BE；
∵∠EDC=∠ODB，而∠ODB=∠OBD，
∴∠EDC=∠OBD；
由弦切角定理知：∠DAE=∠OBD，故∠EDC=∠DAE，
易得：△CDE∽△CAD，
∴

CD

AC

=

DE

AD

，而

DE

AD

=

AE

AB

；
即

CD

AC

=

AE

AB

?

AE

CD

=

AB

AC

；
由（1）知：AB=AC，故

AE

CD

=1．

点评：本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．