Question

【题目】已知，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．

（1）如图甲，求证：；

（2）如图乙，连接，若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由正方形的性质得出BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，利用角边角证明△BGC≌△DEC，然后可得出CG=CE；
（2）由线段的和差，正方形的性质求出正方形的边长为3，根据勾股定理求出线段BD=6，过点G作GH⊥DB，根据勾股定理可得出HG=DH=2，进而求出BH=4，BG=2，在Rt△HBG中可求出cos∠DBG的值．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，
又∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
又∵∠GBC+∠BGC+∠GCB=180°，
∠GFD+∠FDG+∠DGF=180°，
∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，
在△BGC和△DEC中，

，

∴△BGC≌△DEC（ASA），
∴CG=CE；
（2）过点G作GH⊥BD，设CE=x，

∵CG=CE，∴CG=x，
又∵BE=BC+CE，DC=DG+GC，BC=DC，
BE=4，DG=2，
∴4x＝2+x，解得：x=，∴BC=3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：

，

又易得△DHG为等腰直角三角形，∴根据勾股定理可得HD=HG=2，
又∵BD=BH+HD，
∴BH=6-2=4，
在Rt△HBG中，由勾股定理得：

，

．