Question

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求抛物线对应的二次函数关系式；
（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；
（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，得
，
解得，，
故该二次函数的解析式为：y=-x²+x-2．

（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t²+t-2．
由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．
∴E点的坐标为（t，t-2）．
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t．
∴S_△DAC=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．

（3）假设存在这样的点P．
∵A（4，0），C（0，-2），
∴AC=2．
设P（x，0）．
①当AC=PC时，=2，
解得，x=4（不合题意，舍去）或x=4，
即P₁（4，0）；
②当AP=AC时，|x-4|=2，
解得，x=4+2或x=4-2，即P₂（4-2，0）、P₃（4+2，0）；
③当AP=PC时，|x-4|=，
解得，x=，即P₄（，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P₁（4，0）、P₂（4-2，0）、P₃（4+2，0）、P₄（，0）．
分析：（1）本题需先根据已知条件“该抛物线经过C点”，设出该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，再根据过A，B两点，即可得出结果．
（2）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．
（3）需要分类讨论：当AC=PC、AP=AC、AP=PC时，分别求得点P的坐标．
点评：本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．