Question

在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M，N，D为△ABC外一 点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD，探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。

（1）如图（1），当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是____；此时=____；
（2）如图（2），当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图（3），当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=____（用x、L表示）。

Answer 1

解：（1）BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN，此时=；
（2）猜想：结论仍然成立， 证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE， ∵BD=CD，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， 又△ABC是等边三角形， ∴∠MBD=∠NCD=90°， 在△MBD与△ECD中， BM=CE，∠MBD=∠ECD，BD=DC， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴DM=DE，∠BDM=∠CDE， ∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°， 在△MDN与△EDN中： DM=DE，∠MDN=∠EDN，DN=DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=NE=NC+BM， △AMN 的周长Q=AM+AN+MN =AM+AN+（NC+BM） =（AM+BM）+（AN+NC） =AB+AC =2AB， 而等边△ABC的周长L=3AB， ∴；
（3）当M、N分别在AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q=2x+L（用x、L表示）。