Question

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=

1

2

，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

Answer 1

（1）连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线．

（2）EF²=4OD•OP．
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴

OD

OA

=

OA

OP

，即OA²=OD•OP，
又∵EF=2OA，
∴EF²=4OD•OP．

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=

1

2

BC=3（三角形中位线定理），
设AD=x，
∵tan∠F=

1

2

，
∴FD=2x，OA=OF=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）²=x²+3²，
解之得，x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB=

6

10

=

3

5

．
∵OA²=OD•OP，
∴3（PE+5）=25，
∴PE=

10

3

．