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    已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA予点E。
    （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
    （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
    （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
    解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
    ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
    ∴AE=AD·tan∠ADE=2×tan∠BCD=2×=1
    ∴E（0，1）
    设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    将点E的坐标代入，得c=1，
    将c=1和点D、C的坐标分别代入，得
    ，解这个方程组，得，
    故抛物线的解析式为y=；
    （2）EF=2GO成立，
    ∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，
    ∴点M的纵坐标为，
    设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0），
    将点D、M的坐标分别代入，得
    ，解得，
    ∴DM的解析式为y=-x+3，
    ∴F（0，3），EF=2，
    如图甲，过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK，
    ∵∠ADK=∠FDG=90°，
    ∴∠FDA=∠GDK，
    又∵∠FAD=∠GKD=90°，
    ∴△DAF≌△DKG，
    ∴KG=AF=1，
    ∴CO=1，
    ∴EF=2GO；
    （3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2），
    ∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2，
    ①若PG=PC，则（t-1）2+22=（3-t）2+22，解得t=2，
    ∴P（2，2），此时点Q与点P重合，
    ∴Q（2，2）；
    ②若PG=GC，则（t-1）2+22=22，解得t=1，
    ∴P（1，2），此时GP⊥x轴，CP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
    ∴点Q的纵坐标为，
    ∴Q（1，）；
    ③若PC=GC，则（3-t）2+22=22，解得t=3，
    ∴P（3，2），此时 PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形，
    如图乙，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
    ∴Q（h+1，h），
    ∴（h+1）2+（h+1）+1=h，解得h1=，h2=-2（舍去），
    ∴，
    综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q或。
    练习册系列答案
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    x
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶
    8，9，10，11或12
    8，9，10，11或12
    个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l1：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2：y=
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    x    相交于点C．
    （1）求点C的坐标；
    （2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；
    （3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012届重庆万州区岩口复兴学校九年级下第一次月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

    已知：直角梯形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x轴于B，点A坐标为(3 ，4). 点P从原点O开始以2个单位/秒速度沿x轴正向运动 ；同时，一条平行于x轴的直线从AC开始以1个单位/秒速度竖直向下运动 ，交OA于点D，交OC于点M，交BC于点E. 当点P到达点B时，直线也随即停止运动.

    （1）求出点C的坐标；
    （2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
    用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
    范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
    若有，请求出所有满足要求的t值.

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省湖州市中考数学模拟试卷（十一）（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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