Question

已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两实数根x₁，x₂满足（x₁-x₂）²=2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式的意义得到当△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0时，方程有实数根，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，变形（x₁-x₂）²=2得（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，所以（2k-3）²-4（k²+1）=2，然后解方程即可．

解答：解：（1）△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0，解得k≤

5

12

，
所以k≤

5

12

时，此方程有实数根；
（2）根据题意得x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，
∵（x₁-x₂）²=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，
∴（2k-3）²-4（k²+1）=2，
∴k=

1

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．