Question

【题目】如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，连接、、，延长交于点，若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（ ）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①证明△AFM是等边三角形，可判断； ②③证明△CBF≌△CDE（ASA），可作判断； ④设MN=x，分别表示BF、MD、BC的长，可作判断．

解：①∵AM=EM，∠AEM=30°， ∴∠MAE=∠AEM=30°，

∴∠AMF=∠MAE+∠AEM=60°，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FAD=90°，

∴∠FAM=90°-30°=60°，

∴△AFM是等边三角形，

∴FM=AM=EM， 故①正确；

②连接CE、CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=∠CDM，AD=CD，

在△ADM和△CDM中，

∵ ，

∴△ADM≌△CDM（SAS）， ∴AM=CM，

∴FM=EM=CM， ∴∠MFC=∠MCF，∠MEC=∠ECM，

∵∠ECF+∠CFE+∠FEC=180°， ∴∠ECF=90°，

∵∠BCD=90°， ∴∠DCE=∠BCF，

在△CBF和△CDE中，

∵ ，

∴△CBF≌△CDE（ASA）， ∴BF=DE； 故②正确；

③∵△CBF≌△CDE， ∴CF=CE， ∵FM=EM， ∴CM⊥EF， 故③正确；

④过M作MN⊥AD于N， 设MN=，则AM=AF=，

，DN=MN=， ∴AD=AB= ，

∴DE=BF=AB-AF=，

∴ ，

∵BC=AD= ， 故④错误；

所以本题正确的有①②③；

故选：A．