Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．若正方形的边长为2．

（1）求证：AE⊥BF；

（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求AQ的长；

（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，求四边形MNGH的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°即可；

（2）首先利用折叠的性质和平行线的性质得到QF＝QB，然后在Rt△QPB中，利用勾股定理即可解决问题．

（3）首先证明△AGN∽△AHM，再根据面积比等于相似比的平方，求得S△AGN＝，再利用S四边形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN求解．

（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形，

．

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF＝BE．

在Rt△ABE和Rt△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF．

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF．

（2）由折叠的性质得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝∠BCF =90°，

∵四边形ABCD是正方形，

．

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QF＝QB．

∵PF＝FC＝1，PB＝BC＝2，

在Rt△BPQ中，设QB＝x，

∴x2＝（x﹣1）2+22，

∴x＝，

∴AQ＝BQ﹣AB＝．

（3）解： ，

．

由旋转的性质可知， ．

∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，

∴AN＝AB＝2．

∵∠AHM＝90°，

．

．

∴GN∥HM，

∴△AGN∽△AHM，

∴＝（ ）2．

，

∴＝（ ）2，

∴S△AGN＝，

∴S四边形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN＝1﹣＝，

∴四边形GHMN的面积是 ．