Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）。
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴y，轴分别交于点C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S₁与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设正比例函数的解析式为y=k1x（k1≠0）， 因为y=k1x的图象过点A（3，3）， 所以3=3k1， 解得k1=1， 故这个正比例函数的解析式为y=x， 设反比例函数的解析式为（k2≠0）， 因为的图象过点A（3，3）， 所以， 解得k2=9， 故这个反比例函数的解析式为；
（2）因为点B（6，m）在的图象上， 所以， 则点， 设一次函数解析式为y=k3x+b（k3≠0）， 因为y=k3x+b的图象是y=x向下平移得到的， 所以k3=1， 即y=x+b， 又因为y=x+b的图象过点， 所以 解得， 所以一次函数的解析式为；
（3）因为的图象交y轴于点D，所以D的坐标为， 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 因为y=ax2+bx+c的图象过点A（3，3）、、， 所以　　　 解得 这个二次函数的解析式为；
（4）∵交x轴于点C， ∴点C的坐标是， 如图所示，   假设存在点E（x0，y0），使， ∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方， ∴y0>0， ∴S1=S△OCD+S△OCE， ∴　　 ∴ ∵E（x0，y0）在二次函数的图象上， ∴ 解得x0=2或x0=6， 当x0=6时，点与点B重合，这时CDOE不是四边形， 故x0=6舍去， ∴点E的坐标为。