Question

已知，D为CF上一点，AB∥CF，过E作直线交AB于B，交CF于C，
（1）若AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，求证：AD=AB-CD．
（2）若AE平分∠BAD的外角，DE平分∠ADF的外角，求证：AD=CD-AB．

Answer 1

分析：（1）延长DE交AB于N，根据条件可以得出△ADE≌△ANE，进而可以得出△CDE≌△BNE，由全等三角形的性质就可以得出结论；
（2）延长AE交CD于N，由平行线的性质可以得出∠AED=90°，进而得出△ADE≌△NDE，就有AE=NE，可以得出△ABE≌△NCE，由全等三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）延长DE交AB于N，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，
∴∠DAE=∠NAE=

1

2

∠DAN，∠ADE=

1

2

∠ADF．
∴∠DAE+∠ADE=

1

2

∠DAN+

1

2

∠ADF=

1

2

（∠DAN+∠ADF）．
∵AB∥CF，
∴∠DAN+∠ADF=180°，∠C=∠B，∠CDE=∠BNE．
∴∠DAE+∠ADE=

1

2

×180°=90°
∴∠AED=∠AEN=90°
在△ADE和△ANE中，

∠DAE=∠NAE AE=AE ∠AED=∠AEN

∴△ADE≌△ANE（ASA），
∴AD=AN，DE=NE．
在△CDE和△BNE中，

∠C=∠B ∠CDE=∠BNE DE=NE

，
∴△CDE≌△BNE（AAS），
∴CD=BN．
∵AN=AB-NB，
∴AD=AB-CD；

（2）延长BA到M，延长AE交CD于N，
∵AE平分∠DAM，DE平分∠ADC，
∴∠DAE=

1

2

∠DAM，∠ADE=∠NDE=

1

2

∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=

1

2

∠DAM+

1

2

∠ADC=

1

2

（∠DAM+∠ADC）．
∵AB∥CF，
∴∠DAM+∠ADC=180°，∠C=∠B，∠CNE=∠BAE．
∴∠DAE+∠ADE=

1

2

×180=90．
∴∠AED=∠DEN=90°．
在△ADE和△NDE中

∠ADE=∠NDE AE=AE ∠AED=∠NED

∴△ADE≌△NDE（ASA），
∴AD=DN，AE=NE．
在△ABE和△NCE中，

∠B=∠C ∠BAE=∠CNE AE=NE

，
∴△ABE≌△NCE（AAS），
∴AB=NC．
∵DN=CD-CN，
∴AD=CD-AB．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，解答时求证三角形全等是关键．