Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B的直线与抛物线的另一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，与y轴交于点F，且，△OBE的面积为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设P为已知抛物线上的任意一点，当△ACP的面积等于△ACB的面积时，求点P的坐标；

（3）点Q（0，m）是y轴上的动点，连接AQ、BQ，当∠AQB为钝角时，则m的取值范围是　 　．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）且

【解析】

（1）首先根据抛物线解析式找到抛物线的对称轴，然后根据平行线分线段成比例得出HG＝HO＝1，OB＝2，进而求出点B的坐标，然后根据△OBE的面积及平行线分线段成比例得出点D的坐标，最后利用待定系数法即可求解；

（2）首先根据抛物线的解析式求出A,C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后设，则，利用ACP的面积等于ACB的面积建立一个关于m的方程，解方程求解即可；

（3）先利用勾股定理求出当时m的值，以及排除当A,Q,B三点共线时的m的值，即可得出当∠AQB为钝角时m的取值范围．

解：（1）作DG⊥x轴于G，对称轴交x轴于H，如图，

∵抛物线为，

∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，则OH＝1．

∴OF∥EH∥DG，

∴GH：HO：OB＝DE：EF：FB＝1：1：2，

∴HG＝HO＝1，OB＝2，

∴B（2，0）．

∵△OBE的面积为，

∴×2×EH＝，解得EH＝．

∵OF∥EH∥DG，

∴＝＝，则DG＝×＝3，

∴D（﹣2，3）．

把B（2，0），D（﹣2，3）代入y＝ax2+2ax+c中，得

解得

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+3 ；

（2）令 ，则，

令，则，解得．

，

．

设直线AC的解析式为 ，

将代入解析式中得

解得

∴直线AC的解析式为y＝x+3．

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

设，则，

，

即 ，

当时，

解得 ，

当时，

此时 与重合，故舍去；

当时，

此时 ．

当时，

化简得，

此时 ，

∴该方程无实数根，

综上所述，点P的坐标为；

（3）由（2）知， ，

又∵ ，

．

当 时，

，

即，

解得 ．

当时，A,B,Q三点共线，不符合题意，

∴ ，

∴∠AQB为钝角时，则m的取值范围是且．