Question

明明在矩形纸片ABCD上为“数学爱好者协会”设计的徽标如图所示，其中AB=5，AD=6．曲线BMH是抛物线的一部分，点H在BC边上．抛物线的对称轴平行于AB，BH=4，顶点M到BC的距离为4．四边形DEFG是正方形，点F在抛物线上，E、G两点分别在AD、CD边上．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）求正方形DEFG的边长．
（3）将矩形纸片沿FG所在的直线折叠，点M能否落在BC上，请通过计算说明理由．

Answer 1

分析：（1）答案不唯一，在此以B点为圆心、BC为x轴、BA为y轴建立直角坐标系来进行说明．
已知了BH=4，那么H（4，0），而M到BC的距离为4，且BH=4，根据抛物线的对称性可知M（2，4）．已知了三点的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）如果设正方形边长为m，那么F点的坐标可表示为（6-m，5-m），代入（1）的抛物线中即可求出m的值．
（3）已知了正方形的边长，即可求出CG的长，如果CG的长是M到BC的距离的一半即2，则说明M可以落到BC上，反之则不能．

解答：解：（1）如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
则M（2，4），H（4，0）．
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx．
则

4a+2b=4 16a+4b=0

，
∴

a=-1 b=4

．
∴y=-x²+4x．

（2）设正方形边长为m，则点F的坐标为（6-m，5-m），
∵点F在抛物线上，
∴-（6-m）²+4（6-m）=5-m．
整理，得m²-9m+17=0．
∴m₁=

9+ 13

2

＞6（舍），m₂=

9- 13

2

．
∴正方形DEFG的边长为

9- 13

2

．

（3）点M不能落在BC上．
∵点M到BC的距离为4，点F到BC的距离为5-

9- 13

2

=

13 +1

2

，
而

13 +1

2

≠2，
∴将矩形纸片沿FG所在的直线折叠，点M不能落在BC上．

点评：本题考查了矩形的性质、正方形的性质、二次函数解析式的确定、折叠的性质等知识点．