Question

抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C，顶点为D，以BD为直径的⊙M恰好过点C．
（1）求顶点D的坐标（用a的代数式表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴点C（0，-3a），D（1，-4a），
（方法二）由题意：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

b=-2a c=-3a

．
∴y=ax²-2ax-3a（下同方法一）；

（2）（方法一）过点D作DE⊥y轴于点E，易证△DEC∽△COB
∴

DE

OC

=

CE

OB

∴

1

-3a

=

-a

3

∴a²=1．
∵a＜0，
∴a=-1．
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
（方法二）过点D作DE⊥y轴于点E，过M作MG⊥x轴于点G，
设⊙M交x轴于另一点H，交y轴于另一点F，可先证四边形OHDE为矩形，则OH=DE=1，再证OF=CE=-a，
由OH•OB=OF•OC得：（-a）（-3a）=1×3，
∴a²=1；（下同法一）

（3）符合条件的点P存在，共3个
①若∠BPD=90°，P点与C点重合，则P₁（0，3）（P₁表示第一个P点，下同）
②若∠DBP=90°，过点P₂作P₂R⊥x轴于点R，
设点P₂（p，-p²+2p+3）
由△BP₂R∽△DBH得，

BR

DH

=

P2R

BH

，
即

-p+3

4

=

p2-2p-3

2

，
解得p=-

3

2

或p=3（舍去）
故P2(-

3

2

，-

9

4

)
③若∠BDP=90°，设DP₃的延长线交y轴于点N，可证△EDN∽△HDB，
求得EN=

1

2

，
∴N（0，

7

2

）．
求得DN的解析式为y=

1

2

x+

7

2

，
求抛物线与直线DN的交点得P₃（

1

2

，

15

4

），
综上所述：符合条件的点P为（0，3）、(-

3

2

，-

9

4

)、（

1

2

，

15

4

）．