Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？

Answer 1

分析：（1）依题意可得∠OMC=∠MNC，然后可证得△ODM∽△MCN．
（2）设DM=x，OA=OM=R，OD=AD-OA=8-R，根据勾股定理求出OA的值．
（3）由1可求证△ODM∽△MCN，利用线段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长．

解答：（1）证明：∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN=90°；（1分）
∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；（2分）
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN，（3分）

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，（4分）
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，（5分）
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴OA=R=

x2+64

16

(0＜x＜8)；（6分）

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵OD=8-R=8-

x2+64

16

=

64-x2

16

，
且有△ODM∽△MCN，
∴

MC

OD

=

CN

DM

，
∴代入得到CN=

16x

x+8

；（7分）
同理

MC

OD

=

MN

OM

，
∴代入得到MN=

x2+64

x+8

；（8分）
∴△CMN的周长为P=CM+CN+MN=(8-x)+

16x

x+8

+

x2+64

x+8

=（8-x）+（x+8）=16．（9分）
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（10分）
解法二：在Rt△ODM中，OD=8-R=8-

x2+64

16

=

64-x2

16

，
设△ODM的周长P′=OD+DM+OM=

64-x2

16

+x+

x2+64

16

=x+8；（7分）
而△MCN∽△ODM，且相似比k=

CM

OD

=(8-x)•

16

64-x2

=

16

8+x

；（8分）
∵

△MCN的周长P

△ODM的周长P′

=

16

8+x

，
∴△MCN的周长为P=(x+8)•

16

x+8

=16．（9分）
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（10分）

点评：本题考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识．