Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），点为抛物线的顶点，点的纵坐标为-2．

（1）如图1，求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点是第一象限抛物线上一点，连接，过点作轴交于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，且，点的横坐标大于3，连接，，，且，过点作交于点，若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a（x-1）2-4a，则C点为（1，-4a），再由-4a=-2即可求a的值，进而确定函数解析式；

（2）由已知分别求出点P和点A的坐标，可得AP的直线解析式，求出D点坐标则可求CD；

（3）设CD与x轴的交点为H，连接BE，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F作FN⊥BE于点N，过点P作PM⊥BE交BE的延长线于点M，可证明Rt△PME≌Rt△ENF（HL），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C作CK⊥CG交PA的延长线于点K，连接AC、BC，能够进一步证明△ACK≌△BCG（SAS），得到∠KGB=90°；令AG=8m，则CG=BG=6m，过点G作GL⊥x轴于点L，在Rt△ABG中，AG=10m=4，求出m值，利用等积法可求G点的坐标，再将G点坐标代入，求出t，即可求出点P坐标.

解：（1），

顶点的坐标为，

点的纵坐标为，

，

，

；

（2）点的横坐标为，

，

与轴的交点为，，

设的直线解析式为，

则有，

解得，

，

轴交于点，

，

，

；

（3）如图：设与轴的交点为，连接，

垂直平分，，

，，

轴，

，

过点作于点，过点作交的延长线于点，

，

，

，

，

，

，

，

，

过点作交的延长线于点，连接、，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

，，

，

令，则，

，，

，

，

过点作轴于点，

在中，，

，

，

，

，

，

，

，，

的解析式为，

，

，

，．