Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．

（1）求证：OP⊥CD；

（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）方法1、先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；
方法2、判断出OP是CD的垂直平分线，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.

解：（1）方法1、连接OC，OD，

∴OC＝OD，

∵PD，PC是⊙O的切线，

∵∠ODP＝∠OCP＝90°，

在Rt△ODP和Rt△OCP中，，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，

∴∠DOP＝∠COP，

∵OD＝OC，

∴OP⊥CD；

方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，

∴PD＝PC，

∵OD＝OC，

∴P，O在CD的中垂线上，

∴OP⊥CD

（2）如图，连接OD，OC，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，

∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，

∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，

∴∠COD＝60°，

∵OD＝OC，

∴△COD是等边三角形，

由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，

在Rt△ODP中，OP＝＝．