Question

【题目】直线：，与轴，轴分别交于两点，抛物线:，经过点，且与轴的另一个交点为点．

（1）若，求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点坐标；

（2）在直线与抛物线围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在（l）的条件下“神秘点”的个数；

（3）①直线与轴的交点的坐标会变吗？说明理由；

②若抛物线与直线在的范围内有唯一公共点，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），顶点为，；（2）①不会变，理由见解析；②，，

【解析】

（1）将a=1代入一次函数解析式求得点A的坐标，然后将a的值及 A点坐标代入二次函数解析式求得b的值，然后利用配方法和二次函数的性质求二次函数顶点坐标及点C的坐标；

（2）通过联立方程组求得直线与抛物线的交点坐标，从而确定“神秘点”的个数；

（3）①将一次函数变形为，然后分析无论取何非零实数，恒为0，从而求解；

②结合点A坐标求得抛物线的解析式及对称轴，然后分a＞0，a＜0时结合函数图像讨论求得a的取值范围．

解：（1）若，，当时，

∴，

将代入，可得

∴

∴顶点为

∵点，点关于对称

∴

（2）设直线与抛物线的另一个交点为，

，

解得，，所以交点为和，

所以，直线上神秘点为，，，，，共6个，

抛物线上神秘点为，，，共4个，

综上，神秘点个数为10；

（1）①不会变，，

当时，无论取何非零实数，恒为0，

所以，直线永远经过点，所以点坐标不会改变；

②，，

由①知恒过

∴过∴∴

∴

∴与轴恒交于，

对称轴为不变

∵与在有唯一公共点

∴当时过

解得

∵开口越小，越大

∴

当时

①顶点在上，顶点为

∴

②抛物线恰好过

∴

∴

综上，，时抛物线与在有唯一公共点