Question

如图，反比例函数y=

k

x

（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连接OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S₁、S₂．
（1）①点B坐标为______；②S₁______S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E坐标；
（3）当S₁+S₂=2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．

Answer 1

（1）①根据长方形OABC中，OA=2，OC=4，
则点B坐标为（4，2），
②∵反比例函数y=

k

x

（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，
利用△OAD、△OCE的面积分别为S₁=

1

2

AD•AO，S₂=

1

2

•CO•EC，xy=k，得出，
S₁=

1

2

AD•AO=

1

2

k，S₂=

1

2

•CO•EC=

1

2

k，
∴S₁=S₂；

（2）当点D为AB中点时，AD=2，
∴D的坐标是（2，2），
把D（2，2）代入y=

k

x

得：
k=2×2=4，
∴y=

4

x

．
∵点B坐标为（4，2），
∴E点横坐标为：4，
∴4×y=4，
∴y=1，
∴E点坐标为：（4，1）；

（3）当S₁+S₂=2时，∵S₁=S₂，
∴S₁=S₂=1，
∵S₁=

1

2

AD•AO=

1

2

AD×2=1，
∴AD=1，
∵S₂=

1

2

•CO•EC=

1

2

×4×EC=1，
∴EC=

1

2

，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4-1=3，
BE=2-

1

2

=

3

2

，
∴DO²=AO²+AD²=4+1=5，
DE²=DB²+BE²=9+

9

4

=

45

4

，
OE²=CO²+CE²=16+

1

4

=

65

4

，
∴DO²+DE²=OE²，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO²=5，
∴DO=

5

，
∵DE²=

45

4

，
∴DE=

3 5

2

，
∴△ODE的面积为：

1

2

×DO×DE=

1

2

×

5

×

3 5

2

=

15

4

．