Question

附加题
（1）分式

1

2x2-x+4

的最大值为

8

31

．
（2）若分式

x2-4a2

x+3

的值为0，则x的值为

x=±2a，且x≠-3

．
（3）关于x的方程

x-a

x-1

-

3

x

=1无解，则a的值为

-2或1

．
（4）已知

1

4

(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0，则

b+c

a

的值为

2

．

Answer 1

分析：（1）将分式的分母配方后，根据完全平方式的最小值为0，求出分母的最小值，即可得到原式的最大值；
（2）根据分式值为0的条件是分母不为0，分子等于0，即可得到x的值；
（3）找出分式方程的最简公分母，去分母转化为整式方程，求出x的值，由原方程无解，得到分式方程的最简公分母为0，求出分式方程最简公分母为0时x的值，令其值等于表示出的x的解即可得到a的值，再由表示出的x的值无意义可得此时a的值，综上，即可得到原方程无解时a的值；
（4）根据题意利用添项法在原式两边同时加上bc，整理后，根据a不为0，在方程两边同时除以a²后，等式可化为完全平方式等于0的形式，利用完全平方式的非负性，即可得到平方的底数为0，得出答案．

解答：解：（1）∵2x²-x+4=2（x²-

1

2

x）+4=2（x²-

1

2

x+

1

16

）+4-

1

8

=2（x-

1

4

）²+

31

8

，
∴当x=

1

4

时，2x²-x+4有最小值，最小值为

31

8

，
则分式

1

2x2-x+4

的最大值为

8

31

；
（2）∵分式

x2-4a2

x+3

的值为0，
∴

x+3≠0 x2-4a2=0

，解得x=±2a，且x≠-3，
则x的值为x=±2a，且x≠-3；
（3）

x-a

x-1

-

3

x

=1，
方程两边同时乘以最简公分母x（x-1）得：
x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），
x²-ax-3x+3=x²-x，
整理得：（2+a）x=3，
解得：x=

3

2+a

，
∵此分式方程无解，∴x=0或1，
若

3

2+a

无意义，即a=-2，方程无解；
若

3

2+a

=1，解得：a=1，方程无解，
则a=-2或1时，原方程无解；
（4）

1

4

(b-c)2=(a-b)(c-a)
两边同时加上bc得：

1

4

(b-c)2+bc=(a-b)(c-a)+bc，
化简得：4a²-4a（b+c）+（b+c）²=0，
由a≠0，两边同时除以a²得：4-4

b+c

a

+

(b+c)2

a2

=0，
即(2-

b+c

a

)2=0，
所以

b+c

a

=2．
故答案为：

8

31

；x=±2a，且x≠-3；-2或1；2

点评：此题考查了配方法的应用，分式值为0满足的条件，分式方程无解的条件，以及分式的化简求值，是一道多知识点的综合题，要求学生掌握知识要全面系统，灵活运用所学知识解决问题．本题的第4小题技巧性比较强，两边同时加上bc，然后在等式两边同时除以a²，把等式变为完全平方式等于0是解题的关键．