Question

如图所示，已知△ABC中，∠ACB=60°，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF；用“S”表示面积．
（1）求证：△ABF≌△ADC；
（2）求证：S_△ABF=S_△ACF；
（3）试判断：S_{四边形ACBD}是否等于S_△BCE与S_△ACF的和？并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵AF=AC，AD=AB，∠DAC=∠BAC+∠DAB，∠BAF=∠BAC+∠CAF，
而∠DAB=∠CAF=60°
∴∠DAC=∠BAF，
∴△ABF≌△ADC（SAS）；

（2）∵∠ACB=∠CAF=60°，
∴AF∥BC，平行线间垂线段处处相等
∵△ABF与△ACF是同底AF等高的，
∴S_△ABF=S_△ACF；

（3）判定：S_{四边形ACBD}=S_△BCE+S_△ACF．
作DM⊥BC交BC延长线于点M，作BN⊥EC交EC于点N，
∵△ABF≌△ADC，∴CD=BF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠4=60°，
∴∠3=∠4，而∠DMC=∠BNF=90°，
∴△DMC≌△BNF，∴DM=BN，
∵△BCD与△BCE的底EC、BC相等，高DM=BN，
∴S_△BCD=S_△BCE
∴S_{四边形ACBD}=S_△BCE+S_△ACF．
分析：（1）根据角相互间的等量关系得出∠DAC=∠BAF，通过SAS即可证明△ABF≌△ADC；
（2）根据平行线的判定和性质结合图形可以得出△ABF与△ACF是同为底AF，高是等高的，根据三角形的面积公式即可得出S_△ABF=S_△ACF；
（3）由图知：S_{四边形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD，而△ABF≌△ADC，∴S_△ACD=S_△ABF=S_△ACF，∴只需证明S_△BCD=S_△BCE即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形的面积计算，等底（同底）等高的三角形面积相等．