Question

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，经过点A，O的圆分别与AB、AD相交于E、F，EF与AO相交于G，⊙I分别切OE，AB，BD于M，N，H，且AD=14．
（1）图中有哪些三角形与△AGF相似（写出结论不要求证明）；
（2）求AE+AF的值；
（3）若tan∠AEF=，求⊙I的半径．

Answer 1

解：（1）与△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠BAO=∠DAO=45°，
∵∠DFO=∠AEO，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
∴AE+AF=AD=14；

（3）∵AE+AF=14，tan∠AEF=，
∴AE=6、AF=8、EF=10，
∵∠EAF=90°，
∴EF是直径，
∴∠EOF=90°，
∵OE=FO，
∴EO=，
∵AB=14，OA=OB，∠AOB=90°，
∴BO=，
∴BE=AB-AE=14-6=8，
∴S_△BOE=×8×7×sin45°=28，
∴⊙I的半径r====3-2．
分析：（1）根据题意可得与△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；
（2）首先可证△AEO≌△DFO，即可得AE=DF，继而求得AE+AF的值；
（3）由AE+AF=14，tan∠AEF=，可求得AE=6、AF=8、EF=10，进一步可得EO=、BO=、BE=8，然后由△BOE的面积与⊙I的半径的关系，即可求得⊙I的半径．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的应用，内切圆的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．