Question

如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H。
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由。

Answer 1

解：（1）四边形EFGH是菱形； （2）成立， 理由：连接AD，BC， ∵ ∴ 即 又∵， ∴（SAS） ∴ ∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点， ∴分别是的中位线， ∴ ∴ ∴四边形EFGH是菱形； （3）补全图形，如答图， 判断四边形EFGH是正方形， 理由：连接， ∵（2）中已证， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵（2）中已证GH，EH分别是的中位线， ∴ ∴ 又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形， ∴菱形EFGH是正方形。