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    操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.

    研究：

    （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明；

    （2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由；

    （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.

     

    【答案】

    （1）PD=PE；（2）1，，；（3）ME="3MD"

    【解析】

    试题分析：（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；

    （2）分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明；

    （3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．

    （1）连接PC，

    因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，

    ∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

    ∴∠ACP=∠B=45°．

    又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

    ∴∠DPC=∠BPE．

    ∴△PCD≌△PBE．

    ∴PD=PE；

    （2）△PBE是等腰三角形，

    ①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；

    ②当BP=BE时，E在线段BC上，CE=；E在CB的延长线上，CE=；

    ③当EP=EB时，CE=1；

    （3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC

     

    ∵∠C=90°，

    ∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．

    ∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，

    ∴∠DMF=∠EMH，

    ∵∠MFD=∠MHE=90°，

    ∴△MFD∽△MHE，

    考点：旋转问题的综合题

    点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

     

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    		2
    ，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板自两直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点，如右图，①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．
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    探究：（1）三角板绕P点旋转时，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系表示为
     
    并以图②为例，加以证明；
    （2）三角板绕P点旋转时△PBE是否能成为等腰三角形，若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

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    操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
    （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
    （2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
    （1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，四边形PDCE是正方形，则PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图②、③，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．
    （2）三角板绕点P旋转，△PEB是否成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．
    （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，如图④，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图形加以证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．

    探究：（1）如图①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则重叠部分四边形DCEP的面积为
    4
    4
    ，周长
    8
    8
    ．
    （2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．
    （3）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

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    操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
    （1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，四边形PDCE是正方形，则PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图②、③，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．
    （2）若D、E两点分别在线段AC和CB上移动时，设BE的长为x，△APD的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
    （3）三角板绕点P旋转，△PEB是否能成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．

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