Question

如图，△ABC是等边三角形纸片，沿EF翻折，使点A落在BC边上的D点，设∠AEF=a，AE=x，AF=y．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：△BDE∽△CFD；
（3）写出x，y之间的等量关系，并证明这个等量关系．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质得，∠AEF=∠DEF=a，∠DEB=180°-2a，∠BDE=2a-60°，即可求得30°＜a＜90°；
（2）由两个对应角相等则三角形相似，即可证得；
（3）根据相似三角形的对应边的比相等即可求得．

解答：结：（1）∵∠AEF=a，∴∠DEF=a，∠DEB=180°-2a，∠BDE=2a-60°
得

180°-2a＞0 2a-60°＞0

解得：30°＜a＜90°

（2）∠B=∠C=60°，∠BDE=∠CFD=2a-60°，∴△BDE∽△CFD．

（3）由△BDE∽△CFD得：

BD

CF

=

DE

FD

=

BE

CD

，
代入得：

BD

1-y

=

x

y

=

1-x

CD

∴BD=

x(1-y)

y

，CD=

y(1-x)

x

．
由BD+CD=1得：

x(1-y)

y

+

y(1-x)

x

=1

点评：此题考查了对称图形的性质，还考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是数形结合思想的应用．